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Resolución de integrales/ cos^4/ cos^4(7*x)

Integral de cos^4(7*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  cos (7*x) dx
 |              
/               
0
∫01cos⁡4(7x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(7 x \right)}\, dx 
Integral(cos(7*x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡4(7x)=(cos⁡(14x)2+12)2\cos^{4}{\left(7 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(14x)2+12)2=cos⁡2(14x)4+cos⁡(14x)2+14\left(\frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(14x)4 dx=∫cos⁡2(14x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(14 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(14x)=cos⁡(28x)2+12\cos^{2}{\left(14 x \right)} = \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(28x)2 dx=∫cos⁡(28x) dx2\int \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(28 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=28xu = 28 x.

              Luego que du=28dxdu = 28 dx y ponemos du28\frac{du}{28}:

              ∫cos⁡(u)28 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{28}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du28\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{28}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)28\frac{\sin{\left(u \right)}}{28}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(28x)28\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{28}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(28x)56\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(28x)56\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(28x)224\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(14x)2 dx=∫cos⁡(14x) dx2\int \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(14 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=14xu = 14 x.

          Luego que du=14dxdu = 14 dx y ponemos du14\frac{du}{14}:

          ∫cos⁡(u)14 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{14}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du14\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{14}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)14\frac{\sin{\left(u \right)}}{14}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(14x)14\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{14}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(14x)28\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(14x)28+sin⁡(28x)224\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(14x)2+12)2=cos⁡2(14x)4+cos⁡(14x)2+14\left(\frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(14x)4 dx=∫cos⁡2(14x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(14 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(14x)=cos⁡(28x)2+12\cos^{2}{\left(14 x \right)} = \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(28x)2 dx=∫cos⁡(28x) dx2\int \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(28 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=28xu = 28 x.

              Luego que du=28dxdu = 28 dx y ponemos du28\frac{du}{28}:

              ∫cos⁡(u)28 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{28}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du28\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{28}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)28\frac{\sin{\left(u \right)}}{28}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(28x)28\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{28}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(28x)56\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(28x)56\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(28x)224\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(14x)2 dx=∫cos⁡(14x) dx2\int \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(14 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=14xu = 14 x.

          Luego que du=14dxdu = 14 dx y ponemos du14\frac{du}{14}:

          ∫cos⁡(u)14 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{14}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du14\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{14}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)14\frac{\sin{\left(u \right)}}{14}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(14x)14\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{14}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(14x)28\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(14x)28+sin⁡(28x)224\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x8+sin⁡(14x)28+sin⁡(28x)224+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x8+sin⁡(14x)28+sin⁡(28x)224+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 |    4               sin(14*x)   sin(28*x)   3*x
 | cos (7*x) dx = C + --------- + --------- + ---
 |                        28         224       8 
/
∫cos⁡4(7x) dx=C+3x8+sin⁡(14x)28+sin⁡(28x)224\int \cos^{4}{\left(7 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       3                            
3   cos (7)*sin(7)   3*cos(7)*sin(7)
- + -------------- + ---------------
8         28                56
sin⁡(7)cos⁡3(7)28+3sin⁡(7)cos⁡(7)56+38\frac{\sin{\left(7 \right)} \cos^{3}{\left(7 \right)}}{28} + \frac{3 \sin{\left(7 \right)} \cos{\left(7 \right)}}{56} + \frac{3}{8} 
=
= 
       3                            
3   cos (7)*sin(7)   3*cos(7)*sin(7)
- + -------------- + ---------------
8         28                56
sin⁡(7)cos⁡3(7)28+3sin⁡(7)cos⁡(7)56+38\frac{\sin{\left(7 \right)} \cos^{3}{\left(7 \right)}}{28} + \frac{3 \sin{\left(7 \right)} \cos{\left(7 \right)}}{56} + \frac{3}{8} 
3/8 + cos(7)^3*sin(7)/28 + 3*cos(7)*sin(7)/56
Respuesta numérica [src] 
0.41158823497262
0.41158823497262

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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