Integral de x^2(1-x^3)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - x^{3}$.

      Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u^{6}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = - \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{21}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - x^{3}\right)^{7}}{21}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(1 - x^{3}\right)^{6} = x^{20} - 6 x^{17} + 15 x^{14} - 20 x^{11} + 15 x^{8} - 6 x^{5} + x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x^{17}\right)\, dx = - 6 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x^{14}\, dx = 15 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 20 x^{11}\right)\, dx = - 20 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x^{8}\, dx = 15 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x^{5}\right)\, dx = - 6 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{6}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{21}}{21} - \frac{x^{18}}{3} + x^{15} - \frac{5 x^{12}}{3} + \frac{5 x^{9}}{3} - x^{6} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} - 1\right)^{7}}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} - 1\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} - 1\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$