Integral de (1+x)/(sqrt(2-x^2)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x + 1}{\sqrt{2 - x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

2. Integramos término a término:

   1. que $u = 2 - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \sqrt{2 - x^{2}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2}}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{\sqrt{2} x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{\sqrt{2} dx}{2}$ y ponemos $\sqrt{2} du$:

         $\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}$

   El resultado es: $- \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$