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Resolución de integrales/ (x-1)/ 2*x-1/ (x-1)/sqrt(2*x-1)

Integral de (x-1)/sqrt(2*x-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     x - 1      
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 2*x - 1    
 |                
/                 
0
∫01x−12x−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 1}{\sqrt{2 x - 1}}\, dx 
Integral((x - 1)/sqrt(2*x - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2x−1u = \sqrt{2 x - 1}.

      Luego que du=dx2x−1du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 1}} y ponemos dudu:

      ∫(u22−12) du\int \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u22 du=∫u2 du2\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−12) du=−u2\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{u}{2}

        El resultado es: u36−u2\frac{u^{3}}{6} - \frac{u}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (2x−1)326−2x−12\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−12x−1=x2x−1−12x−1\frac{x - 1}{\sqrt{2 x - 1}} = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=12x−1u = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}.

        Luego que du=−dx(2x−1)32du = - \frac{dx}{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

        ∫(−2(12+12u2)2+12+12u2) du\int \left(- 2 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2(12+12u2)2) du=−2∫(12+12u2)2 du\int \left(- 2 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (12+12u2)2=14+12u2+14u4\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫12u2 du=∫1u2 du2\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −12u- \frac{1}{2 u}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫14u4 du=∫1u4 du4\int \frac{1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{4}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  Por lo tanto, el resultado es: −112u3- \frac{1}{12 u^{3}}

                El resultado es: u4−12u−112u3\frac{u}{4} - \frac{1}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (12+12u2)2=u4+2u2+14u4\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{4 u^{4}}

              2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u4+2u2+14u4 du=∫u4+2u2+1u4 du4\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  u4+2u2+1u4=1+2u2+1u4\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 + \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫1 du=u\int 1\, du = u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫2u2 du=2∫1u2 du\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: −2u- \frac{2}{u}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  El resultado es: u−2u−13u3u - \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

                Por lo tanto, el resultado es: u4−12u−112u3\frac{u}{4} - \frac{1}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: −u2+1u+16u3- \frac{u}{2} + \frac{1}{u} + \frac{1}{6 u^{3}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12u2 du=∫1u2 du2\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −12u- \frac{1}{2 u}

          El resultado es: 12u+16u3\frac{1}{2 u} + \frac{1}{6 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        (2x−1)326+2x−12\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x−1) dx=−∫12x−1 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}\, dx

        1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2x−1\sqrt{2 x - 1}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x−1- \sqrt{2 x - 1}

      El resultado es: (2x−1)326−2x−12\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    (x−2)2x−13\frac{\left(x - 2\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x−2)2x−13+constant\frac{\left(x - 2\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x−2)2x−13+constant\frac{\left(x - 2\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                        _________            3/2
 |    x - 1             \/ 2*x - 1    (2*x - 1)   
 | ----------- dx = C - ----------- + ------------
 |   _________               2             6      
 | \/ 2*x - 1                                     
 |                                                
/
∫x−12x−1 dx=C+(2x−1)326−2x−12\int \frac{x - 1}{\sqrt{2 x - 1}}\, dx = C + \frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2}
Simplificar
Gráfica
1.000.500.550.600.650.700.750.800.850.900.95-100100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   2*I
- - + ---
  3    3
−13+2i3- \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3} 
=
= 
  1   2*I
- - + ---
  3    3
−13+2i3- \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3} 
-1/3 + 2*i/3

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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