Integral de arrcos(y/5)-arccos(y) dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \operatorname{acos}{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int \operatorname{acos}{\left(y \right)}\, dy$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = \operatorname{acos}{\left(y \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dy = y$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\right)\, dy = - \int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\, dy$

         1. que $u = 1 - y^{2}$.

            Luego que $du = - 2 y dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{1 - y^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - y^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- y \operatorname{acos}{\left(y \right)} + \sqrt{1 - y^{2}}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{y}{5}$.

         Luego que $du = \frac{dy}{5}$ y ponemos $5 du$:

         $\int 5 \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = 5 \int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

               1. que $u = 1 - u^{2}$.

                  Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \sqrt{1 - u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $5 u \operatorname{acos}{\left(u \right)} - 5 \sqrt{1 - u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $y \operatorname{acos}{\left(\frac{y}{5} \right)} - 5 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{y}{5} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = - \frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}}$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dy = y$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{y}{5 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{y}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}}\, dy}{5}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 1 - \frac{y^{2}}{25}$.

               Luego que $du = - \frac{2 y dy}{25}$ y ponemos $- \frac{25 du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{25}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{25 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 25 \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 25 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{y}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}} = \frac{5 y}{\sqrt{25 - y^{2}}}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 y}{\sqrt{25 - y^{2}}}\, dy = 5 \int \frac{y}{\sqrt{25 - y^{2}}}\, dy$

               1. que $u = 25 - y^{2}$.

                  Luego que $du = - 2 y dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \sqrt{25 - y^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \sqrt{25 - y^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}$

   El resultado es: $- y \operatorname{acos}{\left(y \right)} + y \operatorname{acos}{\left(\frac{y}{5} \right)} + \sqrt{1 - y^{2}} - 5 \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}$

2. Ahora simplificar:

   $y \operatorname{acos}{\left(\frac{y}{5} \right)} - y \operatorname{acos}{\left(y \right)} + \sqrt{1 - y^{2}} - \sqrt{25 - y^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $y \operatorname{acos}{\left(\frac{y}{5} \right)} - y \operatorname{acos}{\left(y \right)} + \sqrt{1 - y^{2}} - \sqrt{25 - y^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y \operatorname{acos}{\left(\frac{y}{5} \right)} - y \operatorname{acos}{\left(y \right)} + \sqrt{1 - y^{2}} - \sqrt{25 - y^{2}}+ \mathrm{constant}$