Integral de (cos(x)-xsin(x))y dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int y \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = y \int \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $x \cos{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $x y \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x y \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x y \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$