Integral de dx/3sqrt(2x+1)^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 0.333333333333333 \left(\sqrt{2 x + 1}\right)^{2}\, dx = 0.333333333333333 \int \left(\sqrt{2 x + 1}\right)^{2}\, dx$

   1. que $u = \sqrt{2 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) + u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du = 2 \int u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}$.

                  Luego que $du = u du$ y ponemos $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{2}}{2}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{u^{3}}{2} - \frac{u}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u^{3}}{2}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

                  El resultado es: $\frac{u^{4}}{8} - \frac{u^{2}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x^{2} + x + \frac{1}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $0.333333333333333 x^{2} + 0.333333333333333 x + 0.166666666666667$

2. Añadimos la constante de integración:

   $0.333333333333333 x^{2} + 0.333333333333333 x + 0.166666666666667+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$0.333333333333333 x^{2} + 0.333333333333333 x + 0.166666666666667+ \mathrm{constant}$