Integral de 1/(pi^3(1-x^2)sqrt(1-x^2))*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\pi^{3} \left(1 - x^{2}\right) \sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{x^{2}}{\pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{\pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{\pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=-tan(_theta)**2/pi**3, substep=ConstantTimesRule(constant=-1/pi**3, other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=-tan(_theta)**2/pi**3, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2/(pi**3*x**2*sqrt(1 - x**2) - pi**3*sqrt(1 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\pi^{3}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\pi^{3} \left(1 - x^{2}\right) \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{- \pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{- \pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{x^{2}}{\pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{\pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{\pi^{3} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} - \pi^{3} \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=-tan(_theta)**2/pi**3, substep=ConstantTimesRule(constant=-1/pi**3, other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=-tan(_theta)**2/pi**3, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2/(pi**3*x**2*sqrt(1 - x**2) - pi**3*sqrt(1 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\pi^{3}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\pi^{3}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\pi^{3}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\pi^{3}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$