Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ exp(x)/ exp((-2)*x)/(1+exp(x))

Integral de exp((-2)*x)/(1+exp(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo          
  /          
 |           
 |   -2*x    
 |  e        
 |  ------ dx
 |       x   
 |  1 + e    
 |           
/            
0
∫0∞e−2xex+1 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{e^{- 2 x}}{e^{x} + 1}\, dx 
Integral(exp(-2*x)/(1 + exp(x)), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      ∫1u3(u+1) du\int \frac{1}{u^{3} \left(u + 1\right)}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1u3(u+1)=−1u+1+1u−1u2+1u3\frac{1}{u^{3} \left(u + 1\right)} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

          1. que u=u+1u = u + 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        El resultado es: log⁡(u)−log⁡(u+1)+1u−12u2\log{\left(u \right)} - \log{\left(u + 1 \right)} + \frac{1}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(ex+1)+log⁡(ex)+e−x−e−2x2- \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−2xex+1=1e3x+e2x\frac{e^{- 2 x}}{e^{x} + 1} = \frac{1}{e^{3 x} + e^{2 x}}

    2. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      ∫1u(u3+u2) du\int \frac{1}{u \left(u^{3} + u^{2}\right)}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−u2u+1) du\int \left(- \frac{u^{2}}{u + 1}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2u+1 du=−∫u2u+1 du\int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du = - \int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u+1=u−1+1u+1\frac{u^{2}}{u + 1} = u - 1 + \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

            1. que u=u+1u = u + 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u22−u+log⁡(u+1)\frac{u^{2}}{2} - u + \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22+u−log⁡(u+1)- \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(1+1u)+1u−12u2- \log{\left(1 + \frac{1}{u} \right)} + \frac{1}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(1+e−x)+e−x−e−2x2- \log{\left(1 + e^{- x} \right)} + e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−2xex+1=1e3x+e2x\frac{e^{- 2 x}}{e^{x} + 1} = \frac{1}{e^{3 x} + e^{2 x}}

    2. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      ∫1u(u3+u2) du\int \frac{1}{u \left(u^{3} + u^{2}\right)}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−u2u+1) du\int \left(- \frac{u^{2}}{u + 1}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2u+1 du=−∫u2u+1 du\int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du = - \int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u+1=u−1+1u+1\frac{u^{2}}{u + 1} = u - 1 + \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

            1. que u=u+1u = u + 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u22−u+log⁡(u+1)\frac{u^{2}}{2} - u + \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22+u−log⁡(u+1)- \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(1+1u)+1u−12u2- \log{\left(1 + \frac{1}{u} \right)} + \frac{1}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(1+e−x)+e−x−e−2x2- \log{\left(1 + e^{- x} \right)} + e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(ex+1)+log⁡(ex)+e−x−e−2x2+constant- \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(ex+1)+log⁡(ex)+e−x−e−2x2+constant- \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                                    
 |  -2*x                          -2*x                
 | e                  /     x\   e        -x      / x\
 | ------ dx = C - log\1 + e / - ----- + e   + log\e /
 |      x                          2                  
 | 1 + e                                              
 |                                                    
/
∫e−2xex+1 dx=C−log⁡(ex+1)+log⁡(ex)+e−x−e−2x2\int \frac{e^{- 2 x}}{e^{x} + 1}\, dx = C - \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/2 + log(2)
−12+log⁡(2)- \frac{1}{2} + \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-1/2 + log(2)
−12+log⁡(2)- \frac{1}{2} + \log{\left(2 \right)} 
-1/2 + log(2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор