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Resolución de integrales/ x+lnx/ ln^3x/ (ln^3x+lnx+1)/x

Integral de (ln^3x+lnx+1)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |     3                   
 |  log (x) + log(x) + 1   
 |  -------------------- dx
 |           x             
 |                         
/                          
0
∫01(log⁡(x)3+log⁡(x))+1x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} + \log{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\, dx 
Integral((log(x)^3 + log(x) + 1)/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(u3+u+1) du\int \left(u^{3} + u + 1\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        El resultado es: u44+u22+u\frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{2}}{2} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)44+log⁡(x)22+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(x)3+log⁡(x))+1x=log⁡(x)3x+log⁡(x)x+1x\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} + \log{\left(x \right)}\right) + 1}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)3u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)3u du=−∫log⁡(1u)3u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)44- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)44\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)44\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)44+log⁡(x)22+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (log⁡(x)3+2log⁡(x)+4)log⁡(x)4\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} + 2 \log{\left(x \right)} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (log⁡(x)3+2log⁡(x)+4)log⁡(x)4+constant\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} + 2 \log{\left(x \right)} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(log⁡(x)3+2log⁡(x)+4)log⁡(x)4+constant\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} + 2 \log{\left(x \right)} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                                         
 |    3                             2         4            
 | log (x) + log(x) + 1          log (x)   log (x)         
 | -------------------- dx = C + ------- + ------- + log(x)
 |          x                       2         4            
 |                                                         
/
∫(log⁡(x)3+log⁡(x))+1x dx=C+log⁡(x)44+log⁡(x)22+log⁡(x)\int \frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} + \log{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-945564.441678923
-945564.441678923

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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