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Resolución de integrales/ sin^2/ sin^2(πx)

Integral de sin^2(πx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |     2         
 |  sin (pi*x) dx
 |               
/                
0
∫01sin⁡2(πx) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral(sin(pi*x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡2(πx)=12−cos⁡(2πx)2\sin^{2}{\left(\pi x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(2πx)2) dx=−∫cos⁡(2πx) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2πxu = 2 \pi x.

        Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

        ∫cos⁡(u)2π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2π\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2πx)2π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2πx)4π- \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}

    El resultado es: x2−sin⁡(2πx)4π\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2−sin⁡(2πx)4π+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2−sin⁡(2πx)4π+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                    
 |    2                x   sin(2*pi*x)
 | sin (pi*x) dx = C + - - -----------
 |                     2       4*pi   
/
∫sin⁡2(πx) dx=C+x2−sin⁡(2πx)4π\int \sin^{2}{\left(\pi x \right)}\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/2
12\frac{1}{2} 
=
= 
1/2
12\frac{1}{2} 
1/2
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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