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Resolución de integrales/ cos^5/ cos^5(2x)

Integral de cos^5(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  cos (2*x) dx
 |              
/               
0
∫01cos⁡5(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(cos(2*x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡5(2x)=(1−sin⁡2(2x))2cos⁡(2x)\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(sin⁡4(u)cos⁡(u)2−sin⁡2(u)cos⁡(u)+cos⁡(u)2) du\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡4(u)cos⁡(u)2 du=∫sin⁡4(u)cos⁡(u) du2\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(u)5\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡5(u)10\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡2(u)cos⁡(u)) du=−∫sin⁡2(u)cos⁡(u) du\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

          1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)3- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u)2 du=∫cos⁡(u) du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        El resultado es: sin⁡5(u)10−sin⁡3(u)3+sin⁡(u)2\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(2x))2cos⁡(2x)=sin⁡4(2x)cos⁡(2x)−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

        Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u42 du\int \frac{u^{4}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=∫u4 du2\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: u510\frac{u^{5}}{10}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(2x)10\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−2∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)3- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(2x))2cos⁡(2x)=sin⁡4(2x)cos⁡(2x)−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

        Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u42 du\int \frac{u^{4}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=∫u4 du2\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: u510\frac{u^{5}}{10}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(2x)10\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−2∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)3- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2+constant\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2+constant\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                  3           5     
 |    5               sin(2*x)   sin (2*x)   sin (2*x)
 | cos (2*x) dx = C + -------- - --------- + ---------
 |                       2           3           10   
/
∫cos⁡5(2x) dx=C+sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            3         5   
sin(2)   sin (2)   sin (2)
------ - ------- + -------
  2         3         10
−sin⁡3(2)3+sin⁡5(2)10+sin⁡(2)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sin^{5}{\left(2 \right)}}{10} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
            3         5   
sin(2)   sin (2)   sin (2)
------ - ------- + -------
  2         3         10
−sin⁡3(2)3+sin⁡5(2)10+sin⁡(2)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sin^{5}{\left(2 \right)}}{10} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} 
sin(2)/2 - sin(2)^3/3 + sin(2)^5/10
Respuesta numérica [src] 
0.266202423408773
0.266202423408773

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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