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Resolución de integrales/ 2-y^2/ x^2+y/ x^2-y/ (((x^2-y^2)/(x^2+y^2))-4y)

Integral de (((x^2-y^2)/(x^2+y^2))-4y) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |  / 2    2      \   
 |  |x  - y       |   
 |  |------- - 4*y| dx
 |  | 2    2      |   
 |  \x  + y       /   
 |                    
/                     
0
∫01(−4y+x2−y2x2+y2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- 4 y + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dx 
Integral((x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) - 4*y, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫(−4y) dx=−4xy\int \left(- 4 y\right)\, dx = - 4 x y

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2−y2x2+y2=−2y2x2+y2+1\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = - \frac{2 y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + 1

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2y2x2+y2) dx=−2y2∫1x2+y2 dx\int \left(- \frac{2 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dx = - 2 y^{2} \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dx

          1. Integral 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} es atan⁡(xy2)y2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}.

          Por lo tanto, el resultado es: −2y2atan⁡(xy2)y2- \frac{2 y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: x−2y2atan⁡(xy2)y2x - \frac{2 y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2−y2x2+y2=x2x2+y2−y2x2+y2\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

      2. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x2+y2=−y2x2+y2+1\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} = - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + 1

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−y2x2+y2) dx=−y2∫1x2+y2 dx\int \left(- \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dx = - y^{2} \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dx

            1. Integral 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} es atan⁡(xy2)y2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}.

            Por lo tanto, el resultado es: −y2atan⁡(xy2)y2- \frac{y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          El resultado es: x−y2atan⁡(xy2)y2x - \frac{y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−y2x2+y2) dx=−y2∫1x2+y2 dx\int \left(- \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dx = - y^{2} \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dx

          1. Integral 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} es atan⁡(xy2)y2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}.

          Por lo tanto, el resultado es: −y2atan⁡(xy2)y2- \frac{y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

        El resultado es: x−2y2atan⁡(xy2)y2x - \frac{2 y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

    El resultado es: −4xy+x−2y2atan⁡(xy2)y2- 4 x y + x - \frac{2 y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −4xy+x−2y2atan⁡(xy2)y2+constant- 4 x y + x - \frac{2 y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4xy+x−2y2atan⁡(xy2)y2+constant- 4 x y + x - \frac{2 y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                           2     /   x   \
  /                                     2*y *atan|-------|
 |                                               |   ____|
 | / 2    2      \                               |  /  2 |
 | |x  - y       |                               \\/  y  /
 | |------- - 4*y| dx = C + x - 4*x*y - ------------------
 | | 2    2      |                              ____      
 | \x  + y       /                             /  2       
 |                                           \/  y        
/
∫(−4y+x2−y2x2+y2) dx=C−4xy+x−2y2atan⁡(xy2)y2\int \left(- 4 y + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dx = C - 4 x y + x - \frac{2 y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}
Simplificar
Respuesta [src] 
1 - 4*y + y*(I*log(I*y) - I*log(-I*y)) - y*(I*log(1 + I*y) - I*log(1 - I*y))
y(−ilog⁡(−iy)+ilog⁡(iy))−y(−ilog⁡(−iy+1)+ilog⁡(iy+1))−4y+1y \left(- i \log{\left(- i y \right)} + i \log{\left(i y \right)}\right) - y \left(- i \log{\left(- i y + 1 \right)} + i \log{\left(i y + 1 \right)}\right) - 4 y + 1 
=
= 
1 - 4*y + y*(I*log(I*y) - I*log(-I*y)) - y*(I*log(1 + I*y) - I*log(1 - I*y))
y(−ilog⁡(−iy)+ilog⁡(iy))−y(−ilog⁡(−iy+1)+ilog⁡(iy+1))−4y+1y \left(- i \log{\left(- i y \right)} + i \log{\left(i y \right)}\right) - y \left(- i \log{\left(- i y + 1 \right)} + i \log{\left(i y + 1 \right)}\right) - 4 y + 1 
1 - 4*y + y*(i*log(i*y) - i*log(-i*y)) - y*(i*log(1 + i*y) - i*log(1 - i*y))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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