Integral de cot(sqrt(x)+1)*(1/sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x} + 1$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \cot{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cot{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cot{\left(u \right)}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cot{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}$

         2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \cot{\left(u + 1 \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cot{\left(u + 1 \right)}\, du = 2 \int \cot{\left(u + 1 \right)}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cot{\left(u + 1 \right)} = \frac{\cos{\left(u + 1 \right)}}{\sin{\left(u + 1 \right)}}$

         2. que $u = \sin{\left(u + 1 \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u + 1 \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\sin{\left(u + 1 \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\sin{\left(u + 1 \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$