Sr Examen

Integral de arccos(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |  acos(2*x) dx
 |              
/               
0               
01acos(2x)dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}\, dx
Integral(acos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      acos(u)2du\int \frac{\operatorname{acos}{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        acos(u)du=acos(u)du2\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=acos(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)} y que dv(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du(u)=11u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (u1u2)du=u1u2du\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

          1. que u=1u2u = 1 - u^{2}.

            Luego que du=2ududu = - 2 u du y ponemos du2- \frac{du}{2}:

            (12u)du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1udu=1udu2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: u- \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            1u2- \sqrt{1 - u^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 1u2\sqrt{1 - u^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: uacos(u)21u22\frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xacos(2x)14x22x \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=acos(2x)u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du(x)=214x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (2x14x2)dx=2x14x2dx\int \left(- \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx

      1. que u=14x2u = 1 - 4 x^{2}.

        Luego que du=8xdxdu = - 8 x dx y ponemos du8- \frac{du}{8}:

        (18u)du\int \left(- \frac{1}{8 \sqrt{u}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu8\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{8}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Por lo tanto, el resultado es: u4- \frac{\sqrt{u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        14x24- \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 14x22\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xacos(2x)14x22+constantx \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xacos(2x)14x22+constantx \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
                         __________              
  /                     /        2               
 |                    \/  1 - 4*x                
 | acos(2*x) dx = C - ------------- + x*acos(2*x)
 |                          2                    
/                                                
acos(2x)dx=C+xacos(2x)14x22\int \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.502.5-2.5
Respuesta [src]
        ___          
1   I*\/ 3           
- - ------- + acos(2)
2      2             
123i2+acos(2)\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}
=
=
        ___          
1   I*\/ 3           
- - ------- + acos(2)
2      2             
123i2+acos(2)\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}
1/2 - i*sqrt(3)/2 + acos(2)
Respuesta numérica [src]
(0.499434621575381 + 0.45036739819618j)
(0.499434621575381 + 0.45036739819618j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.