Integral de arccos(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\operatorname{acos}{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

            1. que $u = 1 - u^{2}$.

               Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx$

      1. que $u = 1 - 4 x^{2}$.

         Luego que $du = - 8 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{8}$:

         $\int \left(- \frac{1}{8 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$