Integral de sqrt((8-x^2)/(4)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\text{True}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sqrt{8 - x^{2}}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{8 - x^{2}}\, dx}{2}$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sqrt(2)*sin(_theta), rewritten=8*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=8, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=8*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -2*sqrt(2)) & (x < 2*sqrt(2)), context=sqrt(8 - x**2), symbol=x)

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\begin{cases} \frac{x \sqrt{8 - x^{2}}}{2} + 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)} & \text{for}\: x > - 2 \sqrt{2} \wedge x < 2 \sqrt{2} \end{cases}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x \sqrt{8 - x^{2}}}{4} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)} & \text{for}\: x > - 2 \sqrt{2} \wedge x < 2 \sqrt{2} \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x \sqrt{8 - x^{2}}}{4} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)} & \text{for}\: x > - 2 \sqrt{2} \wedge x < 2 \sqrt{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x \sqrt{8 - x^{2}}}{4} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{4} \right)} & \text{for}\: x > - 2 \sqrt{2} \wedge x < 2 \sqrt{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$