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Resolución de integrales/ th^4(x/2)

Integral de th^4(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |      4/x\   
 |  tanh |-| dx
 |       \2/   
 |             
/              
0
∫01tanh⁡4(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \tanh^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral(tanh(x/2)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=tanh⁡(x2)u = \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}.

    Luego que du=(12−tanh⁡2(x2)2)dxdu = \left(\frac{1}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) dx y ponemos −2du- 2 du:

    ∫(−2u4u2−1) du\int \left(- \frac{2 u^{4}}{u^{2} - 1}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u4u2−1 du=−2∫u4u2−1 du\int \frac{u^{4}}{u^{2} - 1}\, du = - 2 \int \frac{u^{4}}{u^{2} - 1}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u4u2−1=u2+1−12(u+1)+12(u−1)\frac{u^{4}}{u^{2} - 1} = u^{2} + 1 - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−12(u+1)) du=−∫1u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

          1. que u=u+1u = u + 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)2- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

          1. que u=u−1u = u - 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

        El resultado es: u33+u+log⁡(u−1)2−log⁡(u+1)2\frac{u^{3}}{3} + u + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −2u33−2u−log⁡(u−1)+log⁡(u+1)- \frac{2 u^{3}}{3} - 2 u - \log{\left(u - 1 \right)} + \log{\left(u + 1 \right)}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −log⁡(tanh⁡(x2)−1)+log⁡(tanh⁡(x2)+1)−2tanh⁡3(x2)3−2tanh⁡(x2)- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(tanh⁡(x2)−1)+log⁡(tanh⁡(x2)+1)−2tanh⁡3(x2)3−2tanh⁡(x2)- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(tanh⁡(x2)−1)+log⁡(tanh⁡(x2)+1)−2tanh⁡3(x2)3−2tanh⁡(x2)+constant- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(tanh⁡(x2)−1)+log⁡(tanh⁡(x2)+1)−2tanh⁡3(x2)3−2tanh⁡(x2)+constant- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        3/x\                   
 |                                                   2*tanh |-|                   
 |     4/x\             /         /x\\         /x\          \2/      /        /x\\
 | tanh |-| dx = C - log|-1 + tanh|-|| - 2*tanh|-| - ---------- + log|1 + tanh|-||
 |      \2/             \         \2//         \2/       3           \        \2//
 |                                                                                
/
∫tanh⁡4(x2) dx=C−log⁡(tanh⁡(x2)−1)+log⁡(tanh⁡(x2)+1)−2tanh⁡3(x2)3−2tanh⁡(x2)\int \tanh^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C - \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.05
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                        3     
                  2*tanh (1/2)
1 - 2*tanh(1/2) - ------------
                       3
−2tanh⁡(12)−2tanh⁡3(12)3+1- 2 \tanh{\left(\frac{1}{2} \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + 1 
=
= 
                        3     
                  2*tanh (1/2)
1 - 2*tanh(1/2) - ------------
                       3
−2tanh⁡(12)−2tanh⁡3(12)3+1- 2 \tanh{\left(\frac{1}{2} \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + 1 
1 - 2*tanh(1/2) - 2*tanh(1/2)^3/3
Respuesta numérica [src] 
0.0099749077678364
0.0099749077678364

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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