Integral de th^4(x/2) dx

1. que $u = \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

   Luego que $du = \left(\frac{1}{2} - \frac{\tanh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) dx$ y ponemos $- 2 du$:

   $\int \left(- \frac{2 u^{4}}{u^{2} - 1}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{4}}{u^{2} - 1}\, du = - 2 \int \frac{u^{4}}{u^{2} - 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{4}}{u^{2} - 1} = u^{2} + 1 - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u - 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + u + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} - 2 u - \log{\left(u - 1 \right)} + \log{\left(u + 1 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tanh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \tanh{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$