Integral de (1+3x)^2/(x*sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{\sqrt{x} x} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{9 x^{2} + 6 x + 1}{x^{\frac{3}{2}}} = 9 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 \sqrt{x}\, dx = 9 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{\frac{3}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{\sqrt{x}}\, dx = 6 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 \sqrt{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $6 x^{\frac{3}{2}} + 12 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{\sqrt{x} x} = 9 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 \sqrt{x}\, dx = 9 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{\frac{3}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{\sqrt{x}}\, dx = 6 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 \sqrt{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $6 x^{\frac{3}{2}} + 12 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(3 x \left(x + 2\right) - 1\right)}{\sqrt{x}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(3 x \left(x + 2\right) - 1\right)}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3 x \left(x + 2\right) - 1\right)}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$