Integral de sqrt(1+e^2*x) dx

1. que $u = e^{2} x + 1$.

   Luego que $du = e^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{e^{2}}$:

   $\int \frac{\sqrt{u}}{e^{2}}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{e^{2}}$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 e^{2}}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \left(e^{2} x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 e^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(x e^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 e^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(x e^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 e^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x e^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 e^{2}}+ \mathrm{constant}$