Integral de (√(5-2x)cos(x/4)+7)/(√(5-2x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{5 - 2 x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{\sqrt{5 - 2 x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- u \cos{\left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{5}{8} \right)} - 7\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u \cos{\left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{5}{8} \right)}\right)\, du = - \int u \cos{\left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{5}{8} \right)}\, du$

            1. que $u = \frac{u^{2}}{8} - \frac{5}{8}$.

               Luego que $du = \frac{u du}{4}$ y ponemos $4 du$:

               $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $4 \sin{\left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{5}{8} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sin{\left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{5}{8} \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-7\right)\, du = - 7 u$

         El resultado es: $- 7 u - 4 \sin{\left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{5}{8} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 7 \sqrt{5 - 2 x} + 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{5 - 2 x} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 7}{\sqrt{5 - 2 x}} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + \frac{7}{\sqrt{5 - 2 x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{x}{4}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

         $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{7}{\sqrt{5 - 2 x}}\, dx = 7 \int \frac{1}{\sqrt{5 - 2 x}}\, dx$

         1. que $u = 5 - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{5 - 2 x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 7 \sqrt{5 - 2 x}$

      El resultado es: $- 7 \sqrt{5 - 2 x} + 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 7 \sqrt{5 - 2 x} + 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 7 \sqrt{5 - 2 x} + 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$