Integral de e^(3sinx+1)cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 \sin{\left(x \right)} + 1$.

      Luego que $du = 3 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{3 \sin{\left(x \right)} + 1}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{3 \sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = e e^{3 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e e^{3 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{3 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = 3 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{3 \sin{\left(x \right)}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e e^{3 \sin{\left(x \right)}}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{3 \sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = e e^{3 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e e^{3 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{3 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = 3 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{3 \sin{\left(x \right)}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e e^{3 \sin{\left(x \right)}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{3 \sin{\left(x \right)} + 1}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{3 \sin{\left(x \right)} + 1}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{3 \sin{\left(x \right)} + 1}}{3}+ \mathrm{constant}$