Integral de (2*cosx+3*sinx)/(2*sinx-3*cosx) dx
Solución
Solución detallada
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
que u = 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) u = 2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} u = 2 sin ( x ) − 3 cos ( x )
Luego que d u = ( 3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) d x du = \left(3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) dx d u = ( 3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) d x d u du d u
∫ 1 u d u \int \frac{1}{u}\, du ∫ u 1 d u
Integral 1 u \frac{1}{u} u 1 log ( u ) \log{\left(u \right)} log ( u )
Si ahora sustituir u u u
log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) ) \log{\left(2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \right)} log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) )
Método #2
Vuelva a escribir el integrando:
3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) = − 3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) \frac{3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}} = - \frac{3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}} 2 s i n ( x ) − 3 c o s ( x ) 3 s i n ( x ) + 2 c o s ( x ) = − − 2 s i n ( x ) + 3 c o s ( x ) 3 s i n ( x ) + 2 c o s ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) ) d x = − ∫ 3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) d x \int \left(- \frac{3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}}\, dx ∫ ( − − 2 s i n ( x ) + 3 c o s ( x ) 3 s i n ( x ) + 2 c o s ( x ) ) d x = − ∫ − 2 s i n ( x ) + 3 c o s ( x ) 3 s i n ( x ) + 2 c o s ( x ) d x
que u = − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) u = - 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} u = − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x )
Luego que d u = ( − 3 sin ( x ) − 2 cos ( x ) ) d x du = \left(- 3 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) dx d u = ( − 3 sin ( x ) − 2 cos ( x ) ) d x − d u - du − d u
∫ ( − 1 u ) d u \int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du ∫ ( − u 1 ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 1 u d u = − ∫ 1 u d u \int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du ∫ u 1 d u = − ∫ u 1 d u
Integral 1 u \frac{1}{u} u 1 log ( u ) \log{\left(u \right)} log ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − log ( u ) - \log{\left(u \right)} − log ( u )
Si ahora sustituir u u u
− log ( − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) ) - \log{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \right)} − log ( − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) )
Por lo tanto, el resultado es: log ( − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) ) \log{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \right)} log ( − 2 sin ( x ) + 3 cos ( x ) )
Ahora simplificar:
log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) ) \log{\left(2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \right)} log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) )
Añadimos la constante de integración:
log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) ) + c o n s t a n t \log{\left(2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant} log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) ) + constant
Respuesta:
log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) ) + c o n s t a n t \log{\left(2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant} log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) ) + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| 2*cos(x) + 3*sin(x)
| ------------------- dx = C + log(2*sin(x) - 3*cos(x))
| 2*sin(x) - 3*cos(x)
|
/
∫ 3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) d x = C + log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) ) \int \frac{3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}\, dx = C + \log{\left(2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} \right)} ∫ 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) 3 sin ( x ) + 2 cos ( x ) d x = C + log ( 2 sin ( x ) − 3 cos ( x ) )
Gráfica
0.00 1.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 -50000 50000
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.
