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Resolución de integrales/ sin(x)/ sin(2*x)/ (sin(x)+sin(2*x))^2

Integral de (sin(x)+sin(2*x))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |  (sin(x) + sin(2*x))  dx
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0
∫01(sin⁡(x)+sin⁡(2x))2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((sin(x) + sin(2*x))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+sin⁡(2x))2=sin⁡2(x)+2sin⁡(x)sin⁡(2x)+sin⁡2(2x)\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)sin⁡(2x) dx=2∫sin⁡(x)sin⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡3(x)3\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡(x)sin⁡(2x)=2sin⁡2(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡3(x)3\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡3(x)3\frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x+4sin⁡3(x)3−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8x + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+sin⁡(2x))2=sin⁡2(x)+2sin⁡(x)sin⁡(2x)+sin⁡2(2x)\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)sin⁡(2x) dx=2∫sin⁡(x)sin⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡3(x)3\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡3(x)3\frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x+4sin⁡3(x)3−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8x + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+sin⁡(2x))2=4sin⁡2(x)cos⁡2(x)+4sin⁡2(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2} = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=4∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

        2. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

          ∫(18−cos⁡2(u)8) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡2(u)8) du=−∫cos⁡2(u) du8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                  1. que u=2uu = 2 u.

                    Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u16−sin⁡(2u)32- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

            El resultado es: u16−sin⁡(2u)32\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=4∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡3(x)3\frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: x+4sin⁡3(x)3−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8x + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x+4sin⁡3(x)3−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8+constantx + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x+4sin⁡3(x)3−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8+constantx + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                                                              3   
 |                    2              sin(2*x)   sin(4*x)   4*sin (x)
 | (sin(x) + sin(2*x))  dx = C + x - -------- - -------- + ---------
 |                                      4          8           3    
/
∫(sin⁡(x)+sin⁡(2x))2 dx=C+x+4sin⁡3(x)3−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8\int \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx = C + x + \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   2         2         2         2                                                                       
cos (1)   cos (2)   sin (1)   sin (2)   4*cos(2)*sin(1)   cos(1)*sin(1)   cos(2)*sin(2)   2*cos(1)*sin(2)
------- + ------- + ------- + ------- - --------------- - ------------- - ------------- + ---------------
   2         2         2         2             3                2               4                3
−sin⁡(1)cos⁡(1)2+cos⁡2(2)2−sin⁡(2)cos⁡(2)4+cos⁡2(1)2+2sin⁡(2)cos⁡(1)3+sin⁡2(1)2+sin⁡2(2)2−4sin⁡(1)cos⁡(2)3- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{2 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{2} - \frac{4 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{3} 
=
= 
   2         2         2         2                                                                       
cos (1)   cos (2)   sin (1)   sin (2)   4*cos(2)*sin(1)   cos(1)*sin(1)   cos(2)*sin(2)   2*cos(1)*sin(2)
------- + ------- + ------- + ------- - --------------- - ------------- - ------------- + ---------------
   2         2         2         2             3                2               4                3
−sin⁡(1)cos⁡(1)2+cos⁡2(2)2−sin⁡(2)cos⁡(2)4+cos⁡2(1)2+2sin⁡(2)cos⁡(1)3+sin⁡2(1)2+sin⁡2(2)2−4sin⁡(1)cos⁡(2)3- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{2 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{2} - \frac{4 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{3} 
cos(1)^2/2 + cos(2)^2/2 + sin(1)^2/2 + sin(2)^2/2 - 4*cos(2)*sin(1)/3 - cos(1)*sin(1)/2 - cos(2)*sin(2)/4 + 2*cos(1)*sin(2)/3
Respuesta numérica [src] 
1.66170693732834
1.66170693732834

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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