Integral de 2*e^(-t)*sin(t)*dt dx

1. que $u = - t$.

   Luego que $du = - dt$ y ponemos $2 du$:

   $\int 2 e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

         2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \sqrt{2} e^{- t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \sqrt{2} e^{- t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sqrt{2} e^{- t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$