Integral de ((x^(3)-4*e^(x)*x+1))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{3} - 4 u^{2} e^{\frac{1}{u}} + 1}{u^{4}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3} - 4 u^{2} e^{\frac{1}{u}} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{3} - 4 u^{2} e^{\frac{1}{u}} + 1}{u^{4}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3} - 4 u^{2} e^{\frac{1}{u}} + 1}{u^{4}} = \frac{1}{u} - \frac{4 e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4 e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du = - 4 \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

               1. que $u = \frac{1}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- e^{\frac{1}{u}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{1}{u}}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            El resultado es: $4 e^{\frac{1}{u}} + \log{\left(u \right)} - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{\frac{1}{u}} - \log{\left(u \right)} + \frac{1}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} - 4 e^{x} + \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- 4 e^{x} x + x^{3}\right) + 1}{x} = x^{2} - 4 e^{x} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 e^{x}\right)\, dx = - 4 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{x}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 4 e^{x} + \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} - 4 e^{x} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} - 4 e^{x} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$