Integral de sin(log(x))/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx}{2}$

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

         2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{4} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$