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Resolución de integrales/ log(x)/ sin(log(x))/2

Integral de sin(log(x))/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |  sin(log(x))   
 |  ----------- dx
 |       2        
 |                
/                 
0
∫01sin⁡(log⁡(x))2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\, dx 
Integral(sin(log(x))/2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫sin⁡(log⁡(x))2 dx=∫sin⁡(log⁡(x)) dx2\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx}{2}

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫eusin⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando eusin⁡(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

          que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

        2. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

          que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)+∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto,

          ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)2−eucos⁡(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xsin⁡(log⁡(x))2−xcos⁡(log⁡(x))2\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(log⁡(x))4−xcos⁡(log⁡(x))4\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{4} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    −2xcos⁡(log⁡(x)+π4)4- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2xcos⁡(log⁡(x)+π4)4+constant- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2xcos⁡(log⁡(x)+π4)4+constant- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                   
 | sin(log(x))          x*cos(log(x))   x*sin(log(x))
 | ----------- dx = C - ------------- + -------------
 |      2                     4               4      
 |                                                   
/
∫sin⁡(log⁡(x))2 dx=C+xsin⁡(log⁡(x))4−xcos⁡(log⁡(x))4\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{4} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/4
−14- \frac{1}{4} 
=
= 
-1/4
−14- \frac{1}{4} 
-1/4
Respuesta numérica [src] 
-0.25
-0.25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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