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Resolución de integrales/ (4x-1)/ (6x+2)/ (4x-1)*sin(6x+2)

Integral de (4x-1)*sin(6x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  (4*x - 1)*sin(6*x + 2) dx
 |                           
/                            
0
∫01(4x−1)sin⁡(6x+2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 1\right) \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx 
Integral((4*x - 1)*sin(6*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−1)sin⁡(6x+2)=4xsin⁡(6x+2)−sin⁡(6x+2)\left(4 x - 1\right) \sin{\left(6 x + 2 \right)} = 4 x \sin{\left(6 x + 2 \right)} - \sin{\left(6 x + 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(6x+2) dx=4∫xsin⁡(6x+2) dx\int 4 x \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(6x+2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x + 2 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫sin⁡(u)6 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)6- \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(6x+2)6- \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(6x+2)6) dx=−∫cos⁡(6x+2) dx6\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x + 2 \right)}\, dx}{6}

          1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(6x+2)6\frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(6x+2)36- \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{36}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(6x+2)3+sin⁡(6x+2)9- \frac{2 x \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(6x+2)) dx=−∫sin⁡(6x+2) dx\int \left(- \sin{\left(6 x + 2 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx

        1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫sin⁡(u)6 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)6- \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(6x+2)6- \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(6x+2)6\frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

      El resultado es: −2xcos⁡(6x+2)3+sin⁡(6x+2)9+cos⁡(6x+2)6- \frac{2 x \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x−1u{\left(x \right)} = 4 x - 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(6x+2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x + 2 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

        Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

        ∫sin⁡(u)6 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)6- \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(6x+2)6- \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(6x+2)3) dx=−2∫cos⁡(6x+2) dx3\int \left(- \frac{2 \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(6 x + 2 \right)}\, dx}{3}

      1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

        Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

        ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(6x+2)6\frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(6x+2)9- \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−1)sin⁡(6x+2)=4xsin⁡(6x+2)−sin⁡(6x+2)\left(4 x - 1\right) \sin{\left(6 x + 2 \right)} = 4 x \sin{\left(6 x + 2 \right)} - \sin{\left(6 x + 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(6x+2) dx=4∫xsin⁡(6x+2) dx\int 4 x \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(6x+2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x + 2 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫sin⁡(u)6 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)6- \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(6x+2)6- \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(6x+2)6) dx=−∫cos⁡(6x+2) dx6\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x + 2 \right)}\, dx}{6}

          1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(6x+2)6\frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(6x+2)36- \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{36}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(6x+2)3+sin⁡(6x+2)9- \frac{2 x \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(6x+2)) dx=−∫sin⁡(6x+2) dx\int \left(- \sin{\left(6 x + 2 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx

        1. que u=6x+2u = 6 x + 2.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫sin⁡(u)6 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du6\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)6- \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(6x+2)6- \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(6x+2)6\frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

      El resultado es: −2xcos⁡(6x+2)3+sin⁡(6x+2)9+cos⁡(6x+2)6- \frac{2 x \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2xcos⁡(6x+2)3+sin⁡(6x+2)9+cos⁡(6x+2)6+constant- \frac{2 x \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2xcos⁡(6x+2)3+sin⁡(6x+2)9+cos⁡(6x+2)6+constant- \frac{2 x \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                              
 |                                 cos(2 + 6*x)   sin(2 + 6*x)   2*x*cos(2 + 6*x)
 | (4*x - 1)*sin(6*x + 2) dx = C + ------------ + ------------ - ----------------
 |                                      6              9                3        
/
∫(4x−1)sin⁡(6x+2) dx=C−2xcos⁡(6x+2)3+sin⁡(6x+2)9+cos⁡(6x+2)6\int \left(4 x - 1\right) \sin{\left(6 x + 2 \right)}\, dx = C - \frac{2 x \cos{\left(6 x + 2 \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}{6}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  cos(8)   cos(2)   sin(2)   sin(8)
- ------ - ------ - ------ + ------
    2        6        9        9
−sin⁡(2)9−cos⁡(2)6−cos⁡(8)2+sin⁡(8)9- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(8 \right)}}{9} 
=
= 
  cos(8)   cos(2)   sin(2)   sin(8)
- ------ - ------ - ------ + ------
    2        6        9        9
−sin⁡(2)9−cos⁡(2)6−cos⁡(8)2+sin⁡(8)9- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(8 \right)}}{9} 
-cos(8)/2 - cos(2)/6 - sin(2)/9 + sin(8)/9
Respuesta numérica [src] 
0.151003469639686
0.151003469639686

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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