Integral de arctgsqrt(x)/(2sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

         1. que $u = u^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

      1. que $u = x + 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$