Integral de -4(2x+5)(2x-pi-5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 u^{2} + 2 \pi u + 10 \pi + 50\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u \pi\, du = 2 \pi \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} \pi$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 10 \pi\, du = 10 u \pi$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 50\, du = 50 u$

         El resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} \pi + 10 u \pi + 50 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 \pi x^{2} + 20 \pi x + 100 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $- 4 \left(2 x + 5\right) \left(\left(2 x - \pi\right) - 5\right) = - 16 x^{2} + 8 \pi x + 20 \pi + 100$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 16 x^{2}\right)\, dx = - 16 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \pi x\, dx = 8 \pi \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \pi x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 20 \pi\, dx = 20 \pi x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 100\, dx = 100 x$

      El resultado es: $- \frac{16 x^{3}}{3} + 4 \pi x^{2} + 20 \pi x + 100 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 x \left(- 4 x^{2} + 3 \pi x + 15 \pi + 75\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x \left(- 4 x^{2} + 3 \pi x + 15 \pi + 75\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x \left(- 4 x^{2} + 3 \pi x + 15 \pi + 75\right)}{3}+ \mathrm{constant}$