Integral de 3x-11/(2x+1)(x-3)dx dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(x - 3\right) \frac{11}{2 x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{11 \left(x - 3\right)}{2 x + 1}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{11 \left(x - 3\right)}{2 x + 1}\, dx = 11 \int \frac{x - 3}{2 x + 1}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x - 3}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{7}{2 \left(2 x + 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{7}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x + 1$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{7 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x - 3}{2 x + 1} = \frac{x}{2 x + 1} - \frac{3}{2 x + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 2 x + 1$.

                        Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

                  El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{3}{2 x + 1}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx$

                  1. que $u = 2 x + 1$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11 x}{2} - \frac{77 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{11 x}{2} + \frac{77 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

   El resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{11 x}{2} + \frac{77 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{11 x}{2} + \frac{77 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{11 x}{2} + \frac{77 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$