Integral de cos^5(x)/sin(x) dx
Solución
Solución detallada
-
Vuelva a escribir el integrando:
sin(x)cos5(x)=sin(x)(1−sin2(x))2cos(x)
-
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
-
que u=sin2(x).
Luego que du=2sin(x)cos(x)dx y ponemos 2du:
∫2uu2−2u+1du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫uu2−2u+1du=2∫uu2−2u+1du
-
Vuelva a escribir el integrando:
uu2−2u+1=u−2+u1
-
Integramos término a término:
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫udu=2u2
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫(−2)du=−2u
-
Integral u1 es log(u).
El resultado es: 2u2−2u+log(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4u2−u+2log(u)
Si ahora sustituir u más en:
2log(sin2(x))+4sin4(x)−sin2(x)
Método #2
-
Vuelva a escribir el integrando:
sin(x)(1−sin2(x))2cos(x)=sin(x)sin4(x)cos(x)−2sin2(x)cos(x)+cos(x)
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫uu4−2u2+1du
-
que u=u2.
Luego que du=2udu y ponemos 2du:
∫2uu2−2u+1du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫uu2−2u+1du=2∫uu2−2u+1du
-
Vuelva a escribir el integrando:
uu2−2u+1=u−2+u1
-
Integramos término a término:
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫udu=2u2
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫(−2)du=−2u
-
Integral u1 es log(u).
El resultado es: 2u2−2u+log(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4u2−u+2log(u)
Si ahora sustituir u más en:
4u4−u2+2log(u2)
Si ahora sustituir u más en:
2log(sin2(x))+4sin4(x)−sin2(x)
Método #3
-
Vuelva a escribir el integrando:
sin(x)(1−sin2(x))2cos(x)=sin3(x)cos(x)−2sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)
-
Integramos término a término:
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u3du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u3du=4u4
Si ahora sustituir u más en:
4sin4(x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2sin(x)cos(x))dx=−2∫sin(x)cos(x)dx
-
que u=cos(x).
Luego que du=−sin(x)dx y ponemos −du:
∫(−u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫udu=−∫udu
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫udu=2u2
Por lo tanto, el resultado es: −2u2
Si ahora sustituir u más en:
−2cos2(x)
Por lo tanto, el resultado es: cos2(x)
-
que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u1du
-
Integral u1 es log(u).
Si ahora sustituir u más en:
log(sin(x))
El resultado es: log(sin(x))+4sin4(x)+cos2(x)
-
Añadimos la constante de integración:
2log(sin2(x))+4sin4(x)−sin2(x)+constant
Respuesta:
2log(sin2(x))+4sin4(x)−sin2(x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| 5 / 2 \ 4
| cos (x) log\sin (x)/ 2 sin (x)
| ------- dx = C + ------------ - sin (x) + -------
| sin(x) 2 4
|
/
∫sin(x)cos5(x)dx=C+2log(sin2(x))+4sin4(x)−sin2(x)
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.