Integral de y^2*ln(y) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(y \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dy}{y}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{3 u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = 3 u$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 u}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$

         1. que $u = 3 u$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 u}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{y^{3} \log{\left(y \right)}}{3} - \frac{y^{3}}{9}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(y \right)} = \log{\left(y \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = y^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{y}$.

      Para buscar $v{\left(y \right)}$:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{y^{2}}{3}\, dy = \frac{\int y^{2}\, dy}{3}$

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{3}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{y^{3} \left(3 \log{\left(y \right)} - 1\right)}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{y^{3} \left(3 \log{\left(y \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y^{3} \left(3 \log{\left(y \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}$