Integral de pi*(1^2-(x-1)^4) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(1 - \left(x - 1\right)^{4}\right)\, dx = \pi \int \left(1 - \left(x - 1\right)^{4}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(x - 1\right)^{4}\right)\, dx = - \int \left(x - 1\right)^{4}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\left(x - 1\right)^{5}}{5}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(x - 1\right)^{4} = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4 x^{3}\right)\, dx = - 4 \int x^{3}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- x^{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 6 x^{2}\, dx = 6 \int x^{2}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + x$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(x - 1\right)^{5}}{5}$

      El resultado es: $x - \frac{\left(x - 1\right)^{5}}{5}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(x - \frac{\left(x - 1\right)^{5}}{5}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(5 x - \left(x - 1\right)^{5}\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(5 x - \left(x - 1\right)^{5}\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(5 x - \left(x - 1\right)^{5}\right)}{5}+ \mathrm{constant}$