Sr Examen
Integral de 1/cos(x/2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
pi / | | 1 | ------ dx | /x\ | cos|-| | \2/ | / 0
$$\int\limits_{0}^{\pi} \frac{1}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx$$
Integral(1/cos(x/2), (x, 0, pi))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | ------ dx | /x\ | cos|-| | \2/ | /
La función subintegral
1 ------ /x\ cos|-| \2/
Multiplicamos numerador y denominador por
/x\ cos|-| \2/
obtendremos
/x\
cos|-|
1 \2/
------ = -------
/x\ 2/x\
cos|-| cos |-|
\2/ \2/Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2/x\ 2/x\
cos |-| = 1 - sin |-|
\2/ \2/cambiamos denominador
/x\ /x\
cos|-| cos|-|
\2/ \2/
------- = -----------
2/x\ 2/x\
cos |-| 1 - sin |-|
\2/ \2/hacemos el cambio
/x\
u = sin|-|
\2/entonces integral
/ | | /x\ | cos|-| | \2/ | ----------- dx = | 2/x\ | 1 - sin |-| | \2/ | /
/ | | /x\ | cos|-| | \2/ | ----------- dx = | 2/x\ | 1 - sin |-| | \2/ | /
Como du = dx*cos(x/2)/2
/ | | 2 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
2 2 / 1 1 \
------ = -*|----- + -----|
2 2 \1 - u 1 + u/
1 - u entonces
/ / / | | | | 2 | 1 | 1 | ------ du = | ----- du + | ----- du | 2 | 1 + u | 1 - u = | 1 - u | | | / / /
= -log(-1 + u) + log(1 + u)
hacemos cambio inverso
/x\
u = sin|-|
\2/Respuesta
/ | | 1 / /x\\ / /x\\ | ------ dx = - log|-1 + sin|-|| + log|1 + sin|-|| | /x\ \ \2// \ \2// + C0 | cos|-| | \2/ | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 / /x\\ / /x\\ | ------ dx = C - log|-1 + sin|-|| + log|1 + sin|-|| | /x\ \ \2// \ \2// | cos|-| | \2/ | /
$$\int \frac{1}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx = C - \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}$$
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.