Integral de ((lnx)^5-3)/(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{5}}{2} - \frac{3}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{5}}{2}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{12}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{3}{2}\right)\, du = - \frac{3 u}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{12} - \frac{3 u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{12} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{5} - 3}{2 x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{2 x} - \frac{3}{2 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{x}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{5}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3}{2 x}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x}\, dx}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{12} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{5} - 18\right) \log{\left(x \right)}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{5} - 18\right) \log{\left(x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{5} - 18\right) \log{\left(x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$