Integral de (lnx)^5 dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int u^{5} e^{u}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u^{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 5 u^{4}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 5 u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 20 u^{3}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 20 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 60 u^{2}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 60 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120 u$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   5. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 120 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 120 e^{u}\, du = 120 \int e^{u}\, du$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $120 e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $x \log{\left(x \right)}^{5} - 5 x \log{\left(x \right)}^{4} + 20 x \log{\left(x \right)}^{3} - 60 x \log{\left(x \right)}^{2} + 120 x \log{\left(x \right)} - 120 x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4} + 20 \log{\left(x \right)}^{3} - 60 \log{\left(x \right)}^{2} + 120 \log{\left(x \right)} - 120\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4} + 20 \log{\left(x \right)}^{3} - 60 \log{\left(x \right)}^{2} + 120 \log{\left(x \right)} - 120\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4} + 20 \log{\left(x \right)}^{3} - 60 \log{\left(x \right)}^{2} + 120 \log{\left(x \right)} - 120\right)+ \mathrm{constant}$