Integral de (10x-7)/(5x-1)^1\2+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{5 x - 1}$.

         Luego que $du = \frac{5 dx}{2 \sqrt{5 x - 1}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(\frac{4 u^{2}}{5} - 2\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4 u^{2}}{5}\, du = \frac{4 \int u^{2}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{15}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            El resultado es: $\frac{4 u^{3}}{15} - 2 u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{15} - 2 \sqrt{5 x - 1}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{10 x - 7}{\sqrt{5 x - 1}} = \frac{10 x}{\sqrt{5 x - 1}} - \frac{7}{\sqrt{5 x - 1}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10 x}{\sqrt{5 x - 1}}\, dx = 10 \int \frac{x}{\sqrt{5 x - 1}}\, dx$

            1. que $u = \frac{1}{\sqrt{5 x - 1}}$.

               Luego que $du = - \frac{5 dx}{2 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

               $\int \left(- 2 \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} + \frac{2}{25} + \frac{2}{25 u^{2}}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\, du$

                     1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                        Método #1

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{25} + \frac{2}{25 u^{2}} + \frac{1}{25 u^{4}}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int \frac{1}{25}\, du = \frac{u}{25}$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \frac{2}{25 u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{25 u}$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \frac{1}{25 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{25}$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{75 u^{3}}$

                           El resultado es: $\frac{u}{25} - \frac{2}{25 u} - \frac{1}{75 u^{3}}$

                        Método #2

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{25 u^{4}}$

                        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{25 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{25}$

                           1. Vuelva a escribir el integrando:

                              $\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 + \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                           2. Integramos término a término:

                              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                                 $\int 1\, du = u$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                                 1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                    $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                              El resultado es: $u - \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{25} - \frac{2}{25 u} - \frac{1}{75 u^{3}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u}{25} + \frac{4}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{2}{25}\, du = \frac{2 u}{25}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{2}{25 u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{25 u}$

                  El resultado es: $\frac{2}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{75} + \frac{2 \sqrt{5 x - 1}}{25}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{15} + \frac{4 \sqrt{5 x - 1}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{7}{\sqrt{5 x - 1}}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{\sqrt{5 x - 1}}\, dx$

            1. que $u = 5 x - 1$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 \sqrt{u}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{5}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 \sqrt{5 x - 1}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{14 \sqrt{5 x - 1}}{5}$

         El resultado es: $\frac{4 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{15} - 2 \sqrt{5 x - 1}$

   El resultado es: $x + \frac{4 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{15} - 2 \sqrt{5 x - 1}$

2. Ahora simplificar:

   $x + \frac{4 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{15} - 2 \sqrt{5 x - 1}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x + \frac{4 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{15} - 2 \sqrt{5 x - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \frac{4 \left(5 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{15} - 2 \sqrt{5 x - 1}+ \mathrm{constant}$