Integral de 1+(exp(-2*x)+exp(2*x)-2)/4 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right) - 2}{4}\, dx = \frac{\int \left(\left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right) - 2\right)\, dx}{4}$

      1. Integramos término a término:

         1. Integramos término a término:

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 x}}{2}$

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            El resultado es: $\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

         El resultado es: $- 2 x + \frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{e^{2 x}}{8} - \frac{e^{- 2 x}}{8}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{e^{2 x}}{8} - \frac{e^{- 2 x}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x}{2} + \frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} + \frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} + \frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$