Integral de (cot5x+csc5x)dx dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

         Luego que $du = 5 \cos{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{1}{5 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

      Método #2

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5 \sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du}{5}$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\csc{\left(5 x \right)} = \frac{\cot{\left(5 x \right)} \csc{\left(5 x \right)} + \csc^{2}{\left(5 x \right)}}{\cot{\left(5 x \right)} + \csc{\left(5 x \right)}}$

   2. que $u = \cot{\left(5 x \right)} + \csc{\left(5 x \right)}$.

      Luego que $du = \left(- 5 \cot^{2}{\left(5 x \right)} - 5 \cot{\left(5 x \right)} \csc{\left(5 x \right)} - 5\right) dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{1}{5 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cot{\left(5 x \right)} + \csc{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

   El resultado es: $- \frac{\log{\left(\cot{\left(5 x \right)} + \csc{\left(5 x \right)} \right)}}{5} + \frac{\log{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\cot{\left(5 x \right)} + \csc{\left(5 x \right)} \right)}}{5} + \frac{\log{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cot{\left(5 x \right)} + \csc{\left(5 x \right)} \right)}}{5} + \frac{\log{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$