Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ x^2-1/ (x^2-1)^(3/2)

Integral de (x^2-1)^(3/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |          3/2   
 |  / 2    \      
 |  \x  - 1/    dx
 |                
/                 
0
∫01(x2−1)32 dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}\, dx 
Integral((x^2 - 1)^(3/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−1)32=x2x2−1−x2−1\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}} = x^{2} \sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {x54x2−1−3x38x2−1+x8x2−1−acosh⁡(x)8for ∣x2∣>1−ix541−x2+3ix381−x2−ix81−x2+iasin⁡(x)8otherwese\begin{cases} \frac{x^{5}}{4 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{x}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- \frac{i x^{5}}{4 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{3 i x^{3}}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{i x}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{i \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{otherwese} \end{cases}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2−1) dx=−∫x2−1 dx\int \left(- \sqrt{x^{2} - 1}\right)\, dx = - \int \sqrt{x^{2} - 1}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          xx2−12−acosh⁡(x)2\frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −xx2−12+acosh⁡(x)2- \frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: −xx2−12+{x54x2−1−3x38x2−1+x8x2−1−acosh⁡(x)8for ∣x2∣>1−ix541−x2+3ix381−x2−ix81−x2+iasin⁡(x)8otherwese+acosh⁡(x)2- \frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + \begin{cases} \frac{x^{5}}{4 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{x}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- \frac{i x^{5}}{4 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{3 i x^{3}}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{i x}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{i \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{otherwese} \end{cases} + \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−1)32=x2x2−1−x2−1\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}} = x^{2} \sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {x54x2−1−3x38x2−1+x8x2−1−acosh⁡(x)8for ∣x2∣>1−ix541−x2+3ix381−x2−ix81−x2+iasin⁡(x)8otherwese\begin{cases} \frac{x^{5}}{4 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{x}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- \frac{i x^{5}}{4 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{3 i x^{3}}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{i x}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{i \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{otherwese} \end{cases}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2−1) dx=−∫x2−1 dx\int \left(- \sqrt{x^{2} - 1}\right)\, dx = - \int \sqrt{x^{2} - 1}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          xx2−12−acosh⁡(x)2\frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −xx2−12+acosh⁡(x)2- \frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: −xx2−12+{x54x2−1−3x38x2−1+x8x2−1−acosh⁡(x)8for ∣x2∣>1−ix541−x2+3ix381−x2−ix81−x2+iasin⁡(x)8otherwese+acosh⁡(x)2- \frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + \begin{cases} \frac{x^{5}}{4 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{x}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- \frac{i x^{5}}{4 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{3 i x^{3}}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{i x}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{i \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{otherwese} \end{cases} + \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    {2x5−7x3+5x+3x2−1acosh⁡(x)8x2−1for ∣x2∣>141−x2(−xx2−1+acosh⁡(x))+i(−2x5+3x3−x+1−x2asin⁡(x))81−x2otherwese\begin{cases} \frac{2 x^{5} - 7 x^{3} + 5 x + 3 \sqrt{x^{2} - 1} \operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\\frac{4 \sqrt{1 - x^{2}} \left(- x \sqrt{x^{2} - 1} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}\right) + i \left(- 2 x^{5} + 3 x^{3} - x + \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {2x5−7x3+5x+3x2−1acosh⁡(x)8x2−1for ∣x2∣>141−x2(−xx2−1+acosh⁡(x))+i(−2x5+3x3−x+1−x2asin⁡(x))81−x2otherwese+constant\begin{cases} \frac{2 x^{5} - 7 x^{3} + 5 x + 3 \sqrt{x^{2} - 1} \operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\\frac{4 \sqrt{1 - x^{2}} \left(- x \sqrt{x^{2} - 1} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}\right) + i \left(- 2 x^{5} + 3 x^{3} - x + \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{2x5−7x3+5x+3x2−1acosh⁡(x)8x2−1for ∣x2∣>141−x2(−xx2−1+acosh⁡(x))+i(−2x5+3x3−x+1−x2asin⁡(x))81−x2otherwese+constant\begin{cases} \frac{2 x^{5} - 7 x^{3} + 5 x + 3 \sqrt{x^{2} - 1} \operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\\frac{4 \sqrt{1 - x^{2}} \left(- x \sqrt{x^{2} - 1} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}\right) + i \left(- 2 x^{5} + 3 x^{3} - x + \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                    //                     3               5                                     \
                                                    ||  acosh(x)        3*x               x                x             | 2|    |
  /                                                 ||- -------- - -------------- + -------------- + --------------  for |x | > 1|
 |                                      _________   ||     8            _________        _________        _________              |
 |         3/2                         /       2    ||                 /       2        /       2        /       2               |
 | / 2    \             acosh(x)   x*\/  -1 + x     ||             8*\/  -1 + x     4*\/  -1 + x     8*\/  -1 + x                |
 | \x  - 1/    dx = C + -------- - -------------- + |<                                                                           |
 |                         2             2          ||                      5                                3                   |
/                                                   ||  I*asin(x)        I*x             I*x            3*I*x                    |
                                                    ||  --------- - ------------- - ------------- + -------------     otherwise  |
                                                    ||      8            ________        ________        ________                |
                                                    ||                  /      2        /      2        /      2                 |
                                                    \\              4*\/  1 - x     8*\/  1 - x     8*\/  1 - x                  /
∫(x2−1)32 dx=C−xx2−12+{x54x2−1−3x38x2−1+x8x2−1−acosh⁡(x)8for ∣x2∣>1−ix541−x2+3ix381−x2−ix81−x2+iasin⁡(x)8otherwise+acosh⁡(x)2\int \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}\, dx = C - \frac{x \sqrt{x^{2} - 1}}{2} + \begin{cases} \frac{x^{5}}{4 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{x}{8 \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{8} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- \frac{i x^{5}}{4 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{3 i x^{3}}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{i x}{8 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{i \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{8} & \text{otherwise} \end{cases} + \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.999800.999820.999840.999860.999880.999900.999920.999940.999960.9999801
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-3*pi*I
-------
   16
−3iπ16- \frac{3 i \pi}{16} 
=
= 
-3*pi*I
-------
   16
−3iπ16- \frac{3 i \pi}{16} 
-3*pi*i/16
Respuesta numérica [src] 
(0.0 - 0.589048622548086j)
(0.0 - 0.589048622548086j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор