Integral de (xe^x-1)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u - e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{\frac{1}{u}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{\frac{1}{u}}$

         El resultado es: $e^{\frac{1}{u}} + \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} x - 1}{x} = e^{x} - \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $e^{x} - \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$