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Resolución de integrales/ x+x^2/ x-x^2/ (1-x+x^2)/x(sqrt(1+x-x^2))

Integral de (1-x+x^2)/x(sqrt(1+x-x^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                              
  /                              
 |                               
 |           2    ____________   
 |  1 - x + x    /          2    
 |  ----------*\/  1 + x - x   dx
 |      x                        
 |                               
/                                
0
∫01x2+(1−x)x−x2+(x+1) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + \left(1 - x\right)}{x} \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}\, dx 
Integral(((1 - x + x^2)/x)*sqrt(1 + x - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2+(1−x)x−x2+(x+1)=x2−x2+x+1−x−x2+x+1+−x2+x+1x\frac{x^{2} + \left(1 - x\right)}{x} \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)} = \frac{x^{2} \sqrt{- x^{2} + x + 1} - x \sqrt{- x^{2} + x + 1} + \sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−x2+x+1−x−x2+x+1+−x2+x+1x=x−x2+x+1−−x2+x+1+−x2+x+1x\frac{x^{2} \sqrt{- x^{2} + x + 1} - x \sqrt{- x^{2} + x + 1} + \sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x} = x \sqrt{- x^{2} + x + 1} - \sqrt{- x^{2} + x + 1} + \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}

    3. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫x−x2+x+1 dx\int x \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−−x2+x+1) dx=−∫−x2+x+1 dx\int \left(- \sqrt{- x^{2} + x + 1}\right)\, dx = - \int \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫−x2+x+1 dx\int \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: −∫−x2+x+1 dx- \int \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫−x2+x+1x dx\int \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}\, dx

      El resultado es: ∫−x2+x+1x dx+∫x−x2+x+1 dx−∫−x2+x+1 dx\int \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}\, dx + \int x \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx - \int \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2+(1−x)x−x2+(x+1)=x−x2+(x+1)−−x2+(x+1)+−x2+(x+1)x\frac{x^{2} + \left(1 - x\right)}{x} \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)} = x \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)} - \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)} + \frac{\sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫x−x2+x+1 dx\int x \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−−x2+(x+1)) dx=−∫−x2+(x+1) dx\int \left(- \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \int \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫−x2+(x+1) dx\int \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: −∫−x2+(x+1) dx- \int \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫−x2+x+1x dx\int \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}\, dx

      El resultado es: ∫−x2+x+1x dx+∫x−x2+x+1 dx−∫−x2+(x+1) dx\int \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}\, dx + \int x \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx - \int \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}\, dx

  2. Añadimos la constante de integración:

    ∫−x2+x+1x dx+∫x−x2+x+1 dx−∫−x2+x+1 dx+constant\int \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}\, dx + \int x \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx - \int \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

∫−x2+x+1x dx+∫x−x2+x+1 dx−∫−x2+x+1 dx+constant\int \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}\, dx + \int x \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx - \int \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                                                           /                  
  /                                      /                       /                        |                   
 |                                      |                       |                         |    ____________   
 |          2    ____________           |    ____________       |      ____________       |   /          2    
 | 1 - x + x    /          2            |   /          2        |     /          2        | \/  1 + x - x     
 | ----------*\/  1 + x - x   dx = C -  | \/  1 + x - x   dx +  | x*\/  1 + x - x   dx +  | --------------- dx
 |     x                                |                       |                         |        x          
 |                                     /                       /                          |                   
/                                                                                        /
∫x2+(1−x)x−x2+(x+1) dx=C+∫−x2+x+1x dx+∫x−x2+x+1 dx−∫−x2+x+1 dx\int \frac{x^{2} + \left(1 - x\right)}{x} \sqrt{- x^{2} + \left(x + 1\right)}\, dx = C + \int \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1}}{x}\, dx + \int x \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx - \int \sqrt{- x^{2} + x + 1}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
  1                                
  /                                
 |                                 
 |     ____________                
 |    /          2  /     2    \   
 |  \/  1 + x - x  *\1 + x  - x/   
 |  ---------------------------- dx
 |               x                 
 |                                 
/                                  
0
∫01−x2+x+1(x2−x+1)x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1} \left(x^{2} - x + 1\right)}{x}\, dx 
=
= 
  1                                
  /                                
 |                                 
 |     ____________                
 |    /          2  /     2    \   
 |  \/  1 + x - x  *\1 + x  - x/   
 |  ---------------------------- dx
 |               x                 
 |                                 
/                                  
0
∫01−x2+x+1(x2−x+1)x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 1} \left(x^{2} - x + 1\right)}{x}\, dx 
Integral(sqrt(1 + x - x^2)*(1 + x^2 - x)/x, (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
43.791170436054
43.791170436054

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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