Integral de (x-(arctg(x))^4)/(1+x^2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x - \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{\operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{2} + 1$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. que $u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x^{2} + 1}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)}}{5}$

   El resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$