Integral de (x-0.5*sqrt(pi/2))^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x - \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{2}$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x - \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{2}\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{2}\right)^{2} = x^{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x}{2} + \frac{\pi}{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x}{2}\right)\, dx = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{\pi}{8}\, dx = \frac{\pi x}{8}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2}}{4} + \frac{\pi x}{8}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{2}\right)^{2} = x^{2} - x \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2} + \frac{\pi}{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}\right)\, dx = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{\pi}{8}\, dx = \frac{\pi x}{8}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2}}{4} + \frac{\pi x}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x - \sqrt{2} \sqrt{\pi}\right)^{3}}{192}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x - \sqrt{2} \sqrt{\pi}\right)^{3}}{192}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x - \sqrt{2} \sqrt{\pi}\right)^{3}}{192}+ \mathrm{constant}$