Integral de xln(x+2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x + 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$