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Resolución de integrales/ cos(2x)/ (x-7)/ (x-7)*cos(2x)

Integral de (x-7)*cos(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x - 7)*cos(2*x) dx
 |                     
/                      
0
∫01(x−7)cos⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - 7\right) \cos{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((x - 7)*cos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−7)cos⁡(2x)=xcos⁡(2x)−7cos⁡(2x)\left(x - 7\right) \cos{\left(2 x \right)} = x \cos{\left(2 x \right)} - 7 \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7cos⁡(2x)) dx=−7∫cos⁡(2x) dx\int \left(- 7 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −7sin⁡(2x)2- \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: xsin⁡(2x)2−7sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x−7u{\left(x \right)} = x - 7 y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−7)cos⁡(2x)=xcos⁡(2x)−7cos⁡(2x)\left(x - 7\right) \cos{\left(2 x \right)} = x \cos{\left(2 x \right)} - 7 \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7cos⁡(2x)) dx=−7∫cos⁡(2x) dx\int \left(- 7 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −7sin⁡(2x)2- \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: xsin⁡(2x)2−7sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(2x)2−7sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4+constant\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(2x)2−7sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4+constant\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                           7*sin(2*x)   cos(2*x)   x*sin(2*x)
 | (x - 7)*cos(2*x) dx = C - ---------- + -------- + ----------
 |                               2           4           2     
/
∫(x−7)cos⁡(2x) dx=C+xsin⁡(2x)2−7sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4\int \left(x - 7\right) \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{7 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1              cos(2)
- - - 3*sin(2) + ------
  4                4
−3sin⁡(2)−14+cos⁡(2)4- 3 \sin{\left(2 \right)} - \frac{1}{4} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} 
=
= 
  1              cos(2)
- - - 3*sin(2) + ------
  4                4
−3sin⁡(2)−14+cos⁡(2)4- 3 \sin{\left(2 \right)} - \frac{1}{4} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} 
-1/4 - 3*sin(2) + cos(2)/4
Respuesta numérica [src] 
-3.08192898961383
-3.08192898961383

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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