Integral de cos(x/3)*sin(x/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} dx}{3}$ y ponemos $- 3 du$:

      $\int \left(- 3 u\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - 3 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{x}{3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

      $\int 3 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}$

   Método #3

   1. que $u = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

      $\int 3 u\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = 3 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$