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Resolución de integrales/ (1/3)/ (x-1)/ (x-1)/(lnx)^(1/3)

Integral de (x-1)/(lnx)^(1/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |    x - 1      
 |  ---------- dx
 |  3 ________   
 |  \/ log(x)    
 |               
/                
0
∫01x−1log⁡(x)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}\, dx 
Integral((x - 1)/log(x)^(1/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x−1log⁡(x)3=xlog⁡(x)3−1log⁡(x)3\frac{x - 1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}} - \frac{1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}

  2. Integramos término a término:

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫e2uu3 du\int \frac{e^{2 u}}{\sqrt[3]{u}}\, du

        UpperGammaRule(a=2, e=-1/3, context=exp(2*_u)/_u**(1/3), symbol=_u)

      Si ahora sustituir uu más en:

      23−log⁡(x)3Γ(23,−2log⁡(x))2log⁡(x)3\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - 2 \log{\left(x \right)}\right)}{2 \sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1log⁡(x)3) dx=−∫1log⁡(x)3 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}\, dx

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫euu3 du\int \frac{e^{u}}{\sqrt[3]{u}}\, du

          UpperGammaRule(a=1, e=-1/3, context=exp(_u)/_u**(1/3), symbol=_u)

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(x)3Γ(23,−log⁡(x))log⁡(x)3\frac{\sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - \log{\left(x \right)}\right)}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}

      Por lo tanto, el resultado es: −−log⁡(x)3Γ(23,−log⁡(x))log⁡(x)3- \frac{\sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - \log{\left(x \right)}\right)}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}

    El resultado es: 23−log⁡(x)3Γ(23,−2log⁡(x))2log⁡(x)3−−log⁡(x)3Γ(23,−log⁡(x))log⁡(x)3\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - 2 \log{\left(x \right)}\right)}{2 \sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}} - \frac{\sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - \log{\left(x \right)}\right)}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}

  3. Ahora simplificar:

    −log⁡(x)3(23Γ(23,−2log⁡(x))2−Γ(23,−log⁡(x)))log⁡(x)3\frac{\sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \left(\frac{\sqrt[3]{2} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - 2 \log{\left(x \right)}\right)}{2} - \Gamma\left(\frac{2}{3}, - \log{\left(x \right)}\right)\right)}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(x)3(23Γ(23,−2log⁡(x))2−Γ(23,−log⁡(x)))log⁡(x)3+constant\frac{\sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \left(\frac{\sqrt[3]{2} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - 2 \log{\left(x \right)}\right)}{2} - \Gamma\left(\frac{2}{3}, - \log{\left(x \right)}\right)\right)}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(x)3(23Γ(23,−2log⁡(x))2−Γ(23,−log⁡(x)))log⁡(x)3+constant\frac{\sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \left(\frac{\sqrt[3]{2} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - 2 \log{\left(x \right)}\right)}{2} - \Gamma\left(\frac{2}{3}, - \log{\left(x \right)}\right)\right)}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                             
 |                     3 _________                       3 ___ 3 _________                      
 |   x - 1             \/ -log(x) *Gamma(2/3, -log(x))   \/ 2 *\/ -log(x) *Gamma(2/3, -2*log(x))
 | ---------- dx = C - ------------------------------- + ---------------------------------------
 | 3 ________                     3 ________                             3 ________             
 | \/ log(x)                      \/ log(x)                            2*\/ log(x)              
 |                                                                                              
/
∫x−1log⁡(x)3 dx=C+23−log⁡(x)3Γ(23,−2log⁡(x))2log⁡(x)3−−log⁡(x)3Γ(23,−log⁡(x))log⁡(x)3\int \frac{x - 1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}\, dx = C + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - 2 \log{\left(x \right)}\right)}{2 \sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}} - \frac{\sqrt[3]{- \log{\left(x \right)}} \Gamma\left(\frac{2}{3}, - \log{\left(x \right)}\right)}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}
Simplificar
Respuesta [src] 
  1              
  /              
 |               
 |    -1 + x     
 |  ---------- dx
 |  3 ________   
 |  \/ log(x)    
 |               
/                
0
∫01x−1log⁡(x)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}\, dx 
=
= 
  1              
  /              
 |               
 |    -1 + x     
 |  ---------- dx
 |  3 ________   
 |  \/ log(x)    
 |               
/                
0
∫01x−1log⁡(x)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{\log{\left(x \right)}}}\, dx 
Integral((-1 + x)/log(x)^(1/3), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
(-0.250538545732302 + 0.433945490462766j)
(-0.250538545732302 + 0.433945490462766j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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