Integral de (x^(-2/3))*exp(-3*x^(1/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{3 e^{- \frac{3}{\sqrt{u}}}}{2 u^{\frac{3}{2}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{- \frac{3}{\sqrt{u}}}}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{3 \int \frac{e^{- \frac{3}{\sqrt{u}}}}{u^{\frac{3}{2}}}\, du}{2}$

         1. que $u = - \frac{3}{\sqrt{u}}$.

            Luego que $du = \frac{3 du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

            $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 e^{- \frac{3}{\sqrt{u}}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- \frac{3}{\sqrt{u}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- e^{- 3 \sqrt[3]{x}}$

   Método #2

   1. que $u = - 3 \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- e^{- 3 \sqrt[3]{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- e^{- 3 \sqrt[3]{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- e^{- 3 \sqrt[3]{x}}+ \mathrm{constant}$