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Resolución de integrales/ (6x+1)/ x^2-1/ 2*x^2/ (6x+1)/(2*x^2-1)

Integral de (6x+1)/(2*x^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |  6*x + 1    
 |  -------- dx
 |     2       
 |  2*x  - 1   
 |             
/              
0
∫016x+12x2−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{6 x + 1}{2 x^{2} - 1}\, dx 
Integral((6*x + 1)/(2*x^2 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    6x+12x2−1=6x2x2−1+12x2−1\frac{6 x + 1}{2 x^{2} - 1} = \frac{6 x}{2 x^{2} - 1} + \frac{1}{2 x^{2} - 1}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫6x2x2−1 dx=6∫x2x2−1 dx\int \frac{6 x}{2 x^{2} - 1}\, dx = 6 \int \frac{x}{2 x^{2} - 1}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2x2−1 dx=∫4x2x2−1 dx4\int \frac{x}{2 x^{2} - 1}\, dx = \frac{\int \frac{4 x}{2 x^{2} - 1}\, dx}{4}

        1. que u=2x2−1u = 2 x^{2} - 1.

          Luego que du=4xdxdu = 4 x dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x2−1)\log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x2−1)4\frac{\log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(2x2−1)2\frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}}{2}

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=2, c=-1, context=1/(2*x**2 - 1), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=2, c=-1, context=1/(2*x**2 - 1), symbol=x), x**2 > 1/2), (ArctanhRule(a=1, b=2, c=-1, context=1/(2*x**2 - 1), symbol=x), x**2 < 1/2)], context=1/(2*x**2 - 1), symbol=x)

    El resultado es: {−2acoth⁡(2x)2for x2>12−2atanh⁡(2x)2for x2<12+3log⁡(2x2−1)2\begin{cases} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{2} \\- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{2} \end{cases} + \frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    {3log⁡(2x2−1)−2acoth⁡(2x)2for x2>123log⁡(2x2−1)−2atanh⁡(2x)2for x2<12\begin{cases} \frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{2} \\\frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{2} \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {3log⁡(2x2−1)−2acoth⁡(2x)2for x2>123log⁡(2x2−1)−2atanh⁡(2x)2for x2<12+constant\begin{cases} \frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{2} \\\frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{3log⁡(2x2−1)−2acoth⁡(2x)2for x2>123log⁡(2x2−1)−2atanh⁡(2x)2for x2<12+constant\begin{cases} \frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{2} \\\frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                        //   ___      /    ___\               \
  /                                     ||-\/ 2 *acoth\x*\/ 2 /        2      |
 |                        /        2\   ||----------------------  for x  > 1/2|
 | 6*x + 1           3*log\-1 + 2*x /   ||          2                         |
 | -------- dx = C + ---------------- + |<                                    |
 |    2                     2           ||   ___      /    ___\               |
 | 2*x  - 1                             ||-\/ 2 *atanh\x*\/ 2 /        2      |
 |                                      ||----------------------  for x  < 1/2|
/                                       \\          2                         /
∫6x+12x2−1 dx=C+{−2acoth⁡(2x)2for x2>12−2atanh⁡(2x)2for x2<12+3log⁡(2x2−1)2\int \frac{6 x + 1}{2 x^{2} - 1}\, dx = C + \begin{cases} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{2} \\- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{2} \end{cases} + \frac{3 \log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan
Respuesta numérica [src] 
4.43396991323329
4.43396991323329

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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